4章4.1-4.3(.ps fie)
4章4.1-4.3(.pdf file)
4章4.4(.ps fie)
4章4.4(.pdf fie)
4章4.5(.ps fie)
4章4.5(.pdf fie)
5章5.1-5.2(.ps fie)
5章5.1-5.2(.pdf fie)
5章5.3(.ps fie)
5章5.3(.pdf fie)
5章5.4その1(.ps fie)
5章5.4その1(.pdf fie)
5章5.4その2(.ps fie)
5章5.4その2(.pdf fie)
6章(.ps fie)
6章(.pdf fie)
10月8日：4章4.3終了
お知らせ：教科書を丸善に頼んでおきました。（前期に50冊は売れたそうです。）
できるだけ早く購入してください。もし丸善で不足したら、
私までお知らせください。
「要点講義 線形代数 吉田清 著 培風館」
2. Ｒ→Ｒの線形写像の例（教科書にないもの）
解答： 任意の実数aについてf(x)=ax
注： １以外のべき乗や０以外の定数の加法は不可。
第ニ回課題を「課題提出システム」に出します。
今回は休みが入るので期間を長くします。
ゆとりがあるので、何回でも変更できます。
まず解答をしておいて、後から見直すことを奨めます。
課題提出システムの課題は、一問１〜２点です。一回抜けても
全体の成績にはあまり影響ないですが、「塵も積もれば山」ですから
必ず解答するようにしましょう。期限過ぎると課題提出システムは解答を受け付
けません。
課題提出システム以外の方法での提出は認めません。
もし課題提出システムに不具合があれば、教室でお知らせください。
課題やレポートについて質問したいときには、講義の後かブレークアワーか
オフィスアワーを利用してください。もちろん講義内容一般についての
質問も歓迎です。ブレークアワーでは、他の先生に質問してもいいんですよ。
10月29日：4章末の問題解答。（一部、この下にある）
巻末に解答があるので見てください。
第四回課題だしました。（公開：11月5日→１１月１４日）
今回は前期のおさらいです。
最終的な答は巻末にあるので、解くための式だけ書きます。a,b,cはベクトルです。
4.7 {a,b,c}は３次元の基底。f(a)=a,f(b)=c,f(c)=b.
このfの表現行列を{a,b,c}に
関して求める。定理4.2を適用。
(f(a) f(b) f(c))=(a c b)=(a b c)A
これをAについて解く。
4.8 4.7と同様に考えれば、(a b+lc c)=(a b c)AをAについて解く。
4.9 n=4, i=2, j=3, として考えると、f(a_1)=a_1, f(a_2)=a_3, f(a_3)=a_2,
f(a_4)=a_4.
ゆえに (a_1,a_3,a_2,a_4)=(a_1,a_2,a_3,a_4)A を解く。
平面 R^2 の基底として u={1,1}, v={-1,1}をとる。
行列 B={{1,3},{2,1}} によって写像 f を f(x)=Bx={x_1+3x_2,2x_1+x_2}
で定義する。Mathematicaの援用によって以下の問いに答えよ。
1. u と v は直交基底であることを示せ。（内積の計算）
2. f の、{u,v} に関する表現行列 F を求めよ。
3. 平面に各人好きな図を描いて、その f による像を（図で）求めよ。
4. 基底 w={0,1}, z={-1,0} をとる。このとき基底の変換行列
P:{u,v}-->{w.z} を求\\
めよ。
5. F の基底 {w,z} に関する表現行列 G を求めよ。（定理4.3, p.75）
第３回課題解答：1. {{3,1},{2,0}}={{2,1},{1,1}}P; P={{1,1},{1,-1}}.
2. |P|=-2.
注意！ 第一回ペーパレポート配布。
ここにも置きます。(.ps file)
ここにも置きます。(.pdf file)
冒頭の注意書きをよく読んでください。
十分な期間があるので、早めに準備して、締め切りに間に合わない
ことのないようにしてください。
注意：21日午後（夜を含む）に課題提出システムにアクセスできなかった人は
次の要領で連絡ください。
（紙に学籍番号、氏名、アクセスできなかった時間帯を明記して
提出してください。）後日対処方法を知らせます。
n次元正方行列を考える。
１．n次元の単位行列Ｅの満たすべき性質を述べよ。
2．Ａはn次元正方行列とする。Ａの逆行列はどのような性質を
満たすか？
３．Ａは２．と同様とする。Ａが正則とはどのような性質であるか？
４．行列の３つの行基本操作とは何か？
いくつかの答え方を書く
1. 任意のＡについて、AE=EA=A；対角線が１で、他は０
２． Ａの逆行列をＸとすると、ＡＸ＝ＸＡ＝Ｅ
（これが逆行列の定義。この性質からいろいろな性質が示される。それらを書い
ても大体ＯＫにした）
３． |A|が０でない；Ａの行（列）が互いに1次独立 etc.
（この問は「正則」の定義またはそれと同値な性質を求めている。）
４．教科書に書いてあるとおり。
第一回レポート解答つき(.ps file)
第一回レポート解答つき(.pdf file)
注：「事情により間に合わなかった」という理由でメールや書いたもので後から
課題を
届ける人が稀にありますが、約１０日間のゆとりがあり、「早めに一度解答を」
と助言して
いるので、それは受付けられません。締め切りを守った人たちに失礼ですから。
正解は私の解答を見てください。
では、解答：連立１次方程式 x+2y-z=0; 2x+y=0 の係数行列は
A={{1,2,-1}, {2,1,0}} と表される。A の階段行列 A' は{{1,0,1/3},
{0,1,-(2/3)}}.
したがってrank A =2. 変数の個数は 3 だから、自由度 １ で、自明でない解が
ある。
解の形は x, y, z のどれを任意定数にするか、で、異なる。どれでもよい。
(1) x=c とするとき： 解 {x,y,z} = c{1, -2, -3}.
(2) y=c とするとき： {x,y,z} = c{-(1/2), 1, 3/2}.
(3) z=c とするとき： {x,y,z} = c{-(1/3), 1, 3/2}.
行列 A={{0,1}, {2,-1}} について
1. A の固有方程式、固有値（すべて）、各固有値に
属する固有ベクトル を求めよ。 （答のみ書くこと）
2. 二つの固有ベクトルをそれぞれ列ベクトルとする
行列を P とする。
P および P の逆行列 P^{-1} を求めよ。（答のみ書くこと）
3. P^{-1}AP が固有値を対角線上の要素とする
対角行列になることを確かめよ。（計算経過を書く）
○ この課題提出システムによる（ほとんど）毎回の簡単な
レポート提出についての感想・意見等あったら
コメントをください。（成績には無関係です。）
解答： １． 固有方程式は |A-aE| =a^2 +a -2 =(a+2)(a-1)=0
ゆえに、固有値は a=1, -2 （順序は不問）
それぞれに属する固有ベクトルは Av=av を解いて、v=b{1,1}, c{1,-2}.
b,c は任意の実数。ここでv={x,y}について、x,y の比だけが問題なので
たとえば後のベクトルは c{-1/2, 1} でもよい。なお、ベクトルの入力方法は
「それらしく」分かればよい。
2. P={{1,1}, {1,-2}} のとき、P^{-1} = {{2/3,1/3}, {1/3, -1/3}}
P={{1,1}, {-2,1}} のとき、 P^{-1} ={{1/3,-1/3}, {2/3m1/3}}
3. まずP^{-1}A を計算して、次にその結果に右から P を掛けるか、
まず AP を計算して、その結果に左から P^{-1} を掛ける。
結果が {{1,0},{0,-2}} または{{-2,0}, {0,1}} になればよい。途中計算が要求
されている。
○課題システムによるレポート提出について、「毎週勉強する指針になってよかっ
た」という
感想が何件かありました。役にたって嬉しいです。ただし行列の入力などが面倒
で
手書きのほうが楽、という感想もありました。それはよくわかります。計算機入
力は
手書きより面倒で時間がかかることもあります。それに入力方法に制限があるの
で
わかりにくい、という問題もあります。（{{a,b}, {c,d}}はどれが縦でどれが横
か、など）
この混乱は最初の１−２回で、あとは皆さん正確に理解してました。
代幾だけでなく、計算機入力は常にそういう問題があります。でもこの課題提出
システム
の長所はたくさんあって、やはり効果はあがっていると思います。来年度のいろ
いろな
科目でも使うつもりです。将来手書きを読み取ってきれいな出力をしてくれる
計算機を作ってください！
成績評価について
課題・レポートの総合点（４２点）を全体の２割、
期末試験を全体の８割、に設定します。
また、合否判定については、不合格者の学籍番号のみ
ウェッブで見れるようにします。試験後２週間をめどに考えています。
期末試験の解答を２月末にここに掲載します。
