皆さんの質問


I.実数が非可算無限であることについて(京都大学 文学部 科学哲学科学史専攻 3回生山下 幸宏さんより)

Q: 0から1の間の実数の集合が不可算無限だと書いてありました。 これは本当でしょうか。

A: それは本当です。

Q: そこでは対角線論法を使った証明が書いてありました。 もし0から1までの間の全ての実数を書いた表があるとしたら、
その表の一番目の数とは少数第一位の数が違い、 二番目の数とは少数第二位の数が違い、
等々と言う数を取ればその表に現れないで しかも0と1との間にある実数が導き出せるではないか、 というわけです。

しかしこの証明が正しいとしたら 自然数の総数が不可算無限であることも証明できはしないでしょうか。
なぜなら自然数全てを書いた表があったとしたら その表の一番目の数とは一の位の数が違い、 二番目の数とは十の位の数が違い、
等々と言う数を取ればその表に現れないで しかも自然数である数が導き出せるではないか、 ということになるからです。

A: 自然数の各位は0から9までの数ですね。それをQのように各位を 変えていってどこかで止めてみると、一つの自然数ができていますが、
それは表の後のほうに現れています。では無限に上の操作を続けたら? 数の無限列は自然数ではありません!

実数(実際には0と1の無限列でよい)に関する論法は、 それぞれの実数を無限小数として並べてあるので、
対角線上で数を 変えていくと、表にない無限小数ができるのです。

実際には自然数全体に番号をつけるアルゴリズムはかんたんに 見つけられます。
簡単のために2進数のほうが考えやすいでしょう。 ちょっと考えてみてください。

Q: 0から1までの実数は次のような手段で すべて数え上げることが出来るように思います。
第n項目を 0.のあとにnを逆から書いた数をつなげた数にして、 0.1, 0.2, ……, 0.9, 0.01, 0.11, 0.21, 0.31, …… という具合にするのです。

A: これでは有限小数しか書けませんね?実数のほとんどは無限小数 (しかも循環しない)ですから、これでは尽くせないのです。
ちなみに 上のような表記ができる数全体はもちろん可算個です。

対角線論法とか背理法は、直観に訴えない原理で、その適用は 目がまわりそうなことがあります。直観主義者はこういう論法を
認めないのですが、それはまた別問題で、ふつうに数学を実行する ときにはやはり便利な道具です。

Q: 無限小数だと不可算無限になるというのは なんとなく分かるような気がします。
しかしそうすると実数全体と0と1の間の実数の集合が 1対1対応をすることになるのでしょうか。
これはつまり数直線全体の上にある点と線分上の点が 1対1対応になるということのはずで、 私には不思議に思えます。
これまで私は実数全体が不可算無限なのであって、 区間を区切った実数(1から0までの実数、のように)は 加算無限だと思っていたので驚いています。
直線と線分の1対1対応が可能だとしたら どのように対応させればよいのでしょうか。

A: こういう事実を発見(証明)した19世紀の数学者たちも驚いたでしょうね。
無限集合は直観にあわないことが多いので、驚きもするし、 魅力でもあります。でもそういう驚きの感覚はとても大事だと
思うのです。0−1区間の実数の集合と実数全体が一対一対応する、 と聞いて「それがどうした?」では学問は進みません。

ほかにもたとえば実数全体と、平面の点全体が 一対一対応するとか、いろいろ不思議にみえることが あります。

これらの対応の数学的な証明はいろいろな集合論の入門書に 書いてあります。私は最近の本をあまり知らないので、
自分に合った本をみつけてください。ご推奨の本がみつかったら 教えてください。


II 古典論理で成り立つ論理式の例(京都大学 文学部 科学哲学科学史専攻 3回生山下 幸宏さんより)

Q:課題(3)論理式 exists x forall y (P(x) => P(y)) の分解の木を作り、 恒真性を示せ。
これが恒真だとするとすべての自然数が1だということになりませんか?

A: なりません。
この文章は「すべての」を「x=1」の後にもってきています。(3)の式は
「あるxがあって、すべてのyについて...」と読むべきです。
言いかえると「すべてのyについて...となるようなxがある」ということです。
文章を論理式で書くのは、上の例のように概念の順序を正確に表現する目的と 効用があるのです。
P(x)を x=1としたときに、xとしてどのような数をとればよいでしょうか?
それはx=1を偽にするようなxの値をとればよいのです。たとえば2とか。
この論理式は一見成り立ちそうもなくて、でも本当は簡単に 成り立つことがいえる例です。


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Last modified: Fri Oct 15 22:52:58 JST 1999